¡Claro! Tu sombrero es rojo, pues si tu sombrero hubiera sido blanco, Antonio hubiera sabido rápidamente que el suyo era rojo.
Pero Antonio no pudo decir de qué color era su sombrero, así que estaba viendo que tú llevabas un sombrero rojo.

Esto es muy interesante, porque el hecho de que Antonio contestara
"no sé" a ti te dio la pista para saber de qué color es tu sombrero.